Χτυπάμε καλά στο μίξερ τα αυγά, τη ζάχαρη και το βιτάμ να ασπρίσουν και να αφρατέψουν. Στο ζεστό γάλα, λιώνουμε τον καφέ και το κακάο και τα προσθέτουμε στο μείγμα μαζί με το αλεύρι, το μπέικιν και το ρούμι.
Χτυπάμε λίγο ακόμα, σε πιο χαμηλή ταχύτητα, μέχρι να ενσωματωθούν τα υλικά και βάζουμε το μείγμα σε βουτυρωμένη και αλευρωμένη φόρμα.
Ψήνουμε σε προθερμασμένο φούρνο, στους 175 βαθμούς για περίπου 1 ώρα, ή μέχρι να βγαίνει το μαχαίρι καθαρό. Μόλις βγάλουμε το κέικ απ' το φούρνο, αφήνουμε να σταθεί 10 λεπτά και το αναποδογυρίζουμε σε μία πιατέλα.
